et qui privilégie l'intervalle
c'est-à dire que 
peut
être formalisée de manière efficace, selon Barbaud, à partir de l'ensemble 
, par une application bijective sur les entiers
On n’entrera pas ici dans une discussion détaillée de la physique du phénomène musical. Les ouvrages appropriés en décrivent les bases [3.5]
On rappellera seulement que les sources sonores «naturelles» sont principalement des corps solides ou gazeux (métaux, bois, membranes, colonne d’air), rarement liquides (rappelons le « bouteillophone» et les recherches de Lasry et Baschet) dont les proportions géométriques favorisent certains modes propres (au sens de la physique)
La sollicitation de ces modes se fait par un apport d’énergie ponctuel ou entretenu (percussion, frottement, pression), s’appuyant sur des phénomènes de résonance. Toutefois, toute source de bruit peut être considérée comme une source musicale.
Quant aux sources «artificielles», elle sont de deux ordres:
Les générateurs électroniques, qui élaborent et produisent des ondes électriques; fondés sur la connaissance intellectuelle des phénomènes de résonance, ils constituent en général des «modèles» des sources naturelles. L’information produite est la variation continue de l’onde électrique, transformée en onde sonore par des transducteurs électro-mécaniques.
Les systèmes de programmation et programmes d’ordinateurs, qui sont en eux-mêmes des modèles abstraits, et élaborent non plus une onde continue mais une information point par point, laquelle doit être ensuite transformée en onde sonore continue au moyen de convertisseurs digitaux-analogiques. Il est important de noter que dans ce cas, la durée «virtuelle» de l’information est elle-même paramétrisée, et qu’il n’existe plus de synchronisme entre son élaboration et son émission; c’est une «horloge» qui la retraduit en temps réel.
La transmission de «l’information musicale» se fait par variation de pression de l’air ambiant et les quantités d’énergie mises en jeu dans ce transfert sont en général très faibles.
Là encore, l’électronique intervient pour transmettre le message hors de portée acoustique, transducteur mécano-électrique (micro) et transmission électronique pouvant être suivie de transmission hertzienne et re-traduction sonore, constituent la chaîne intermédiaire courante, avec ses déformations propres ( fig 1.1).
Il est important de noter que la chaîne de transmission peut différer l’émission du message, des supports physiques variés (disques, cassettes, etc) constituant alors une mémoire figée de l’onde sonore potentielle.
Quand au récepteur, c’est une paire d’oreilles, qui constitue en lui-même un mécanisme biologique complexe [3.2 ], transmettant en l’interprétant l’information reçue au cerveau et par lui à l’appareil psycho-moteur. Il est vraisemblable, bien que non prouvé, qu’une association de récepteurs humains baignant dans un même message sonore modifie leur réceptivité.
Enfin, le message sonore étant d’essence spatio-temporelle, la localisation et l’éventuelle mobilité des sources et des récepteurs ont leur importance étant donné les propriétés physiques du milieu transmetteur (vitesse du son, distances, etc.), de même que les particularités de l’espace où se fait l’échange (acoustique, architectures).
Toutes ces étapes de la production et de la transmission du son, et en particulier celles qui font appel aux technologies récentes, ont donné lieu à la mise au point de méthodes de description et d’analyse faisant appel aux mathématiques appliquées.
La plupart relèvent de l’analyse différentielle, puisqu’il s’agit de phénomènes de variation, entretenus ou non, de l’état du milieu physique.
La démarche, étant analytique, a tendu à isoler certains caractères ou paramètres du son sur lesquels nous allons revenir.
Mais le traitement en amont, c’est-à-dire les supports de l’imagination dans l’organisation des sons, de même que ses effets en aval sur le récepteur, sont restés en grande partie du domaine de la description subjective. C’est à ces niveaux que l’effort reste à faire, et nous nous intéresserons d’abord au premier.
Nous allons donc, par une démarche analogue, tenter de décrire dans ce chapitre l’espace musical abstrait, c’est-à-dire les outils de formalisation des paramètres du son existants, avec leurs avantages et leurs lacunes.
Découvrir des invariants dans le domaine de la variation et des repères de répétitivité au royaume de l’irreproductible est le propos usuel du physicien. D’où la notion de fréquence fondamentale d’un son entretenu, ou note, ou hauteur, mesurée en cycles par seconde. Un son est dit pur par convention lorsque l’onde de pression qui le caractérise en un point de l’espace est représentée par une sinusoïde. Les sons purs n’existent pas dans la nature, mais les générateurs électroniques en donnent une bonne approximation. On ne reprendra pas ici la théorie des cordes vibrantes ou des vibrations de membranes ou de colonne d’air; on rappellera seulement que les propriétés physiques et la géométrie du milieu en vibration favorisent, outre la fréquence fondamentale, des fréquences en rapport entier avec celle-ci ou harmoniques ; le taux de ces harmoniques (rapport d’amplitude avec la fondamentale) détermine le timbre du son composé entretenu.
Les modèles mathématiques relèvent de l’analyse différentielle: équations et systèmes d’équations différentielles linéaires ou non, équations aux dérivées partielles permettent des représentations des ondes produites.
L’établissement du phénomène donne lieu à un transitoire plus ou moins important qui correspond à l’attaque du son; lorsque l’apport d’énergie se fait par percussion, le transitoire est particulièrement important, et le corps (ou le milieu) vibre ensuite sur ses fréquences propres, avec un amortissement plus ou moins long jusqu’à extinction totale.
Lorsque le milieu en vibration a des propriétés et proportions choisies, (par exemple système physique à constantes localisées), le spectre des fréquences est discret, et l’analyse en série de Fourier permet une décomposition de la représentation de l’onde en somme de sinusoïdes. Dans le cas général d’un bruit, le spectre peut être continu dans une certaine bande de fréquence et seule l’analyse par intégrale de Fourier est possible.
Si l’on revient à un son entretenu par une source d’énergie et produit dans une intention musicale, sa description exhaustive en un point donné de l’espace, depuis son apparition jusqu’à son extinction, est la représentation sous forme d’une courbe en coordonnées cartésiennes de la variation de pression de l’air en fonction du temps au point donné.
L’observation de cette courbe, enregistrée sur un support de papier (comme un électrocardiogramme par exemple), fait apparaître 3 zones :
- la zone d’établissement du son, durant laquelle le transitoire l’emporte
- la zone d’entretien du son, où une périodicité s’établit, modulée en amplitude par les variations lentes de l’apport d’énergie, qui correspondent à la dynamique de ce son, c’est-à-dire à ses variations d’intensité durant l’entretien, et modulée le cas échéant en fréquence autour de la valeur nominale de la fondamentale (vibrato des instruments à cordes, de la voix, etc.)
- la zone d’extinction, où l’amplitude décroît rapidement.
C’est sur la zone d’entretien qu’une analyse en série de Fourier ferait apparaître la décomposition de l’onde en une somme de sinusoïdes, dont les rapports de fréquence et d’amplitude avec la fondamentale sont caractéristiques du timbre.
Dire qu’une note de clarinette est un la7 attaqué louré et joué mf est donc sous-entendre une série de simplifications drastiques vis-à-vis de la réalité physique, le timbre lui-même pouvant se modifier d’une tessiture à l’autre (par exemple chalumeau de la clarinette).
Il sera important d’avoir ces simplifications à l’esprit lorsqu’on fera usage des formalismes sur les paramètres du son.
En particulier, les formalismes sur les échelles de hauteurs supposent des sons purs indéfiniment entretenus, et ne constituent qu’une première approximation limitative.
Le langage tonal traditionnel est fondé sur le tempérament des intervalles dits «naturels» que l’on détecte comme harmoniques d’une fondamentale. Xenakis l’interprète [5.8] comme compromis entre deux approches : une approche géométrique et pythagoricienne, basée sur des subdivisions égales d’une même longueur de corde, et une approche arithmétique ou aristoxénienne, qui additionne les intervalles entre sons.
Quoiqu'il en soit,
toute échelle sonore construite sur un intervalle unitaire entre deux
fréquenceset qui privilégie l'intervallec'est-à dire que peut
être formalisée de manière efficace, selon Barbaud, à partir de l'ensemble , par une application bijective sur les entiers
a = 0,1,...n-1.
A condition de considérer l'échelle sonore résultante comme privilégiant l'octave, l'utilisation de la structure des entiers modulo-n permettra de formaliser toute une série de propriétés musicales de cette échelle.
n = 12 échelle chromatique tempérée
n = 18 échelle en tiers de tons,
n = 24 échelle en quart de tons, etc.
Si l'on décide de choisir une valeur de n différente de celle utilisée par la tradition, il y aura lieu d'estimer les distances des intervalles résultant par rapport aux distances formées par la suite des harmoniques naturels d'un son.
On peut évidemment
privilégier un autre intervalle, par exemple de la 2ème harmonique, c'est-à-dire
, si l'on veille à ce qu'il n'existe pas un kième
degré 
car la prégnance auditive de l'octave étant plus
forte que celle de la quinte, l'étude modulo-n aboutirait à des propriétés non
vérifiées par l'oreille. Pour en revenir à l'ensemble 
on
utilise sa structure de groupe pour la loi d'addition (la transposition des
musiciens) c'est-à-dire que
a) cette loi est
associative : 
b) il existe un
élément neutre : 
c) chaque élément admet un symétrique :
d) cette loi est partout définie
Cette formalisation s'adapte bien au langage tonal classique, dont Barbaud a étudié certaines propriétés harmoniques.
Par exemple, bien
que la gamme majeure 
ne soit pas un sous-groupe de 
, on peut la considérer comme la réunion de trois
sous-ensembles
accord parfait majeur construit sur la tonique
accord parfait majeur construit sur la sous
dominante
accord parfait majeur construit sur la dominante
De même
représente un accord parfait mineur
et les trois formes
de la gamme mineure « relative » de 
seront
données par les unions
forme modale (remarque 
)
forme harmonique voir fig 1.2
forme mélodique
ou encore
décrit tous les accords parfaits majeurs et mineurs existant dans le ton « i »
on rappelle que
est un sous groupe de 
or pour
on note 
Si utilisant les propriétés de la
congruence modulo-12, on construit tous les sous-groupes de 
|
Sous-groupes |
Nbre d'éléments |
Nbre de sous-groupes |
Valeurs de k |
|
|
1 |
12 |
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
12 |
1 |
|
On obtient ainsi 28 sous-groupes qui sont des échelles bien connues des musiciens ;
- la totalité des octaves bâties sur une note
- les quartes augmentées (ou quintes diminuées)
- les 4 accords de quinte augmentées
- les 3 accords de septième diminuées
- les 2 gammes par tons debussystes
- le total chromatique.
remarquons en passant qu'historiquement, les membres de phrase musicale utilisant l'un de ces sous-groupes comme échelle utilisaient sans restriction harmonique les sous-ensembles (accords) du sous-groupe, tirant implicitement la conséquence de «compatibilité entre agrégats» des propriétés d'équidistance entre degrés successifs. Il est facile de le vérifier sur tous les passages en septième diminuées de la période romantique, mais aussi sur les sections en gamme par tons de Debussy (cf Le prélude du premie livre Voiles).
Les opérations logiques usuelles à partir de ces 28 sous-groupes permettent de formaliser toutes les échelles modulo-12 .
Toutefois, Xenakis [5.2] a préféré exprimer ce formalisme à partir des classes de résidus modulo-n, ce qui donne :
pour 
pour 
pour 
pour 
pour 
Le treillis correspondant est symbolisé fig 1.4.
Nous verrons que cette nouvelle notation est riche de conséquences, car elle donne un nouveau degré de liberté (le modulo-n) qui permet de ne pas borner le formalisme aux échelles modulo-12 c'est-à-dire aux échelles dont la structure interne est répétitive d'une octave à l'autre.
Xenakis a fait l'exercice de formaliser la gamme majeure à partir d'opérations logiques sur les cribles, ce qui donne (fig 1.3)
ainsi que toute une série d'échelles à micro-intervalles de la musique byzantine. [5.7].
Bien qu'elle ne corresponde pas au langage traditionnel, nous établirons dorénavant une distinction entre
un mode :
échelle construite exclusivement à partir de la réunion de sous-groupes de 
combinant ainsi leurs propriétés de symétries
et une gamme, dont les dissymétries internes nécessitent pour sa description l'usage des autres opérations logiques.
Messiaen a exposé [5.2] sans la formaliser la structure musicale des modes qu'il utilise constamment dans son oeuvre, et qu'il a baptisés modes à transpositions limitées parce que, à cause de symétries internes, on ne peut les transposer 12 fois sans retomber sur les mêmes sous-ensembles.
L'utilisation de l'opération union entre classes de résidus à modulo n (n = 2, 3, 4 ou 6) permet de les formaliser aisément.
Le premier
mode est en fait la gamme par tons de Debussy. Elle n'a que 2
transpositions, 
et 
et
c'est le seul mode à être un sous-groupe de 
(voir
plus haut). Debussy l'a utilisé constamment, soit pour « noyer la
tonalité » soit comme mode en soi.
Sous cette dernière
forme, citons le célèbre Préludes « Voiles », deuxième des 24
Préludes pour piano, qui ne fait appel qu'au mode 
,à part
5 mesures centrales de climax, fondées sur la gamme pentatonique. (cette gamme,
selon la définition précédente, est l'une des échelles historiquement les plus
répandues, de la musique chinoise aux folklores africains. Dans
« Voiles », Debussy l'utilise dans la transposition qui ne fait
appel qu'aux touches noires du clavier.)
Le deuxième mode est formé par l'union de 2 des 3 classes de résidus à base 3.
D'après la formule
des combinaisons 
, il n'en existe que 3 transpositions
distinctes :
(1ère transposition de Messiaen)
(2ème transposition de Messiaen) fig 1.5
(3ème transposition de Messiaen)
Musicalement, sa
structure fondée sur la réunion de 2 accords de 7ème diminuée et le fait que
en font un mode particulièrement ambigu, en
effet
et Messiaen a joué de cette quadruple ambiguïté tonale.
Les exemples d'utilisation
du 2ème mode abondent dans son oeuvre ; citons au hasard les sections principales
de l'un des préludes pour piano de 1930, Le Nombre Léger. Mais Debussy
en avait déjà fait un emploi intuitif, voir par exemple l'avant-dernière section
(mesures 31 à 37) du 13ème prélude pour piano,
Brouillards, construit sur 
puis sur 
(fig 1.7).
On en trouve même
deux formes en superposition 
et 
(pédale harmonique), selon une technique familière
à Messiaen, dans le 14ème prélude, Feuilles mortes (mesures 25 à 30).
(fig 1.8)
En fait , ce mode
et ses répétitions internes était déjà latent dans le style du 19ème siècle.
On le trouve par exemple sous forme 
dans
une transition de la 1ére Ballade de Chopin (mes 130 à 133. fig 1.6)
Le troisième
mode est formé par l'union de
3 des 4 classes de résidus à base 4, soit 4 transpositions ; en effet
(3ème transposition de Messiaen)
(2ème transposition de Messiaen)
(1ère transposition de Messiaen)
(4ème transposition de Messiaen)
Avant de poursuivre, on peut utiliser une relation simple :
Les cribles de base à modulo 12 sont de 4 types
où 
et
On a 
(k+j) modulo C
d'où :
Ces relations
mettent en évidence les symétries internes sur lesquelles il est possible de
jouer, c'est-à-dire les parties communes à 2 modes, par exemple :
on retrouvera fig 1.9 la représentation des
4ème
mode (8 notes) 
6
transpositions
5ème
mode (6 notes) 
6
transpositions
6ème
mode (8 notes) 
6
transpositions
7ème
mode (10 notes) 
6
transpositions
On voit que les
interférences directes entre les bases 3 et 4 ne sont pas utilisées (seul le
6ème mode établit la communication par l'intermédiaire de 
.
En effet : 
C'est le mode que j'ai utilisé moi-même dans Dualités pour violon et piano (1964)
Le principe commun de ces modes est d'introduire des dissymétries partielles dans une organisation symétrique à base 12.
On a vu que la
formalisation précédente utilisait uniquement les cribles sous-groupes de 
(c'est-à-dire musicalement sous-multiples de
l'octave).
Imaginons maintenant qu'on utilise les cribles à base non sous-multiple de 12 (modulo 5,7,8, etc.)
On pourra le faire de différentes manières.
On devra « initialiser » les cribles, c'est-à-dire fixer une hauteur de référence relative à chaque crible utilisé. Si l'on utilise par exemple la réunion de cribles à base 13 dans le système à 12 sons (octave + ½ ton), on obtiendra un « mode » dont les rapports d'intervalles fixes s'élèveront d'un demi-ton à chaque nouveau cycle (le système devient en effet cohérent modulo-13).L'échelle résultante est donc fonctionnellement modulante. (voir fig 1.10 le mode utilisé dans « Jubilation heuristique » Riotte 1968).
Observons d'abord qu'on peut distinguer 2 sortes de cribles non-réductibles à l'octave :
Ceux dont le modulo est un nombre premier (5, 7, 11, 13 etc)
Ceux dont le modulo est un multiple des bases 2, 3, 4, 6 réductibles à l'octave
Alors que les premiers énoncent la totalité des degrés modulo-12 si l'on considère une étendue théorique non limitée à l'aire audible :
5 représentant le cycle des quartes
7 représentant le cycle de quintes, etc.
Les seconds ne parcourent qu'un sous-ensemble du sous-groupe dont leur modulo est un multiple ;
sixte mineure 
sixte majeure 
...
etc.
Cette particularité, qui découle des propriétés des entiers eux-mêmes, permet de prévoir « auditivement » leur contribution dans un échelle non-répétitive.
On conçoit aisément en tout cas, étant donné leur périodicité étendue sur un grand nombre d'octaves, que des opérations logiques sur plusieurs d'entre eux constituent des échelles cohérentes et pourtant non-répétitives sur toute l'aire audible. Cette propriété, riche de possibilités, a été utilisée entre autre par Xenakis et moi-même.
La formalisation d'échelles par cribles implique un tempérament. Si ce tempérament est bâti sur l'octave, et comporte n degrés ramenés dans l'ambitus d'octave par injection (modulo-n).
- Si n est premier, tous les cribles parcourent l'entièreté des degrés ramenés dans l'ambitus d'octave par injection modulo-n.
- Si n n'est par premier, alors
k, l, m premiers
a, b, g
entiers
positifs.
Et les cribles construits sur les degrés de l'échelle se partagent en 2 sous-classes
La sous-classe des cribles dont le modulo est premier avec n ; ceux-ci couvrent l'entièreté des degrés ramenés dans l'ambitus d'octave par injection
Sous-classe 1 : 5,7,11,13,...
La sous-classe des cribles bâtis sur une combinaison incomplète des composants premiers de n et leurs multiples ; ceux-ci ne couvrent qu'un sous-ensemble des degrés injectés dans l'octave.
Sous-classe 2 : 2,3,4,6,8,9,10,14, ...
Bien noter que si les sous-classes sont les mêmes quelle que soit l'unité choisie (demi-ton, quart de ton, etc.), elles ne correspondent pas aux mêmes degrés de l'échelle.
Dans son article «Vers une métamusique » [5.7], Xenakis fait allusion à une structure « hors-temps » fondée sur des propriétés particulières de classes de résidus choisies.
Soit l'ensemble P
des classes de résidus 
modulo-r fondées sur les entiers naturels 
premiers avec r
on a
(entiers relatifs)
D'où
Vis-à-vis de
l'opération multiplication avec réduction modulo-r, les 
forment un groupe commutatif fini fermé sur lui-même, c'est-à-dire que leurs
produits ne sortent pas de l'ensemble.
Si l'on prend par
exemple
, on aura P = {1,5,7,11,17,...}
En effet, on aura :
etc.
Xenakis a utilisé cette propriété dans « Nomos Alpha » pour violoncelle seul, dont il expose le formalisme détaillé dans son article « Vers une philosophie de la musique » [5.8]
Il construit une
famille de cribles composés à partir d'une expression fonction 
fondée sur des opérations logiques entre deux cribles formant un
couple 
Soit pour la fonction de départ :
Les classes de résidus sont construites à partir de l'unité quart de ton. Il obtient ainsi une échelle non-répétitive en quarts de ton (fig 1.11).
Sans en faire une analyse musicale poussée, on peut commenter la démarche de sa conception :
écrivons pour alléger
la fonction L (ll, 13) s'écrit
=
Des 3 termes qui la forment, c'est le terme 3 qui fournit le tissu principal de l'échelle modulo-13 (une quinte moins ¼ ton) ; ce terme représente un mode courbe « convexe » (voir définition fig 1.11 de même principe que le mode de « Jubilation heuristique » mais dans l'univers des quarts de ton. Dans l'étendue modulo-26 (octave + demi-ton), il est constitué de 2 sous-ensembles :
accord parfait mineur
accord de 7ème diminuée à 3 sons (décalé d'un quart de ton supérieur par rapport à l'origine).
Le terme 2 ajoute
un crible modulo-11 oblitéré par un masque modulo-13 
.
Il s'agit donc d'un mode courbe convexe complexifié par des ajouts modulo-13 et modulo-11, intermédiaire entre le mode courbe et l'échelle totalement non-répétitive.
Xenakis construit à partir d'une fonction plus générale
un graphe parcourant les permutations
des 
dans la fonction L selon un parcours obligé qui
constitue ce qu'il appelle une métabole, combinaison de glissements
cycliques des indices de cribles (transpositions) et de modifications de modulos
(modulation).
Passant à la limite, les modes courbes ayant encore un lointain parfum de fonction tonale, il est possible de définir un univers « hors-temps » cohérent et n'ayant plus trace de répétitivité.
A partir d'un ensemble
de cribles à bases supérieure à 6, et supposée fournie une origine (voir fig
1.12) , il est possible de définir à partir de 
des sous-ensembles ayant
entre eux des relations logiques auditivement « sensibles ».
J'avais besoin pour la conception de l'oeuvre de définir 2 sous-ensembles complémentaires interprétant l'aura sémantique du couple mémoire-oubli [5.14].
Tous les
sous-ensembles de l'oeuvre sont construits à partir des cribles de 
à 
(univers du demi-ton).
Ici 
Si l'on définit l'opération
, elle a des éléments communs avec M, soit 
Pour obtenir un
sous-ensemble J tel que 
,il
suffit d'appliquer l'opération logique
.
Dans la musique occidentale, mis à part certains phénomènes isolés (l'isorythmie), les durées sont restées, quant à un formalisme, cantonnées dans un monde élémentaire jusqu'au XXe siècle. Monde essentiellement articulé à partir d'une subdivision régulière du temps objectif à base binaire-ternaire, pourvu d'une hiérarchie (temps forts-temps faibles) descriptible à partir des classes de résidus (fig 1.13).
Ce n'était pas vrai en revanche pour les musiques orientales. Il suffit de rappeler le réseau de symboles attachés aux figures rythmiques de la musique hindoue, figures chères à Olivier Messiaen par exemple.
Toutefois, on doit reconnaître que le temps « non-mesuré » (c'est-à-dire la suspension de la métrique) a toujours été présent, bien que de manière très sporadique, dans l'histoire musicale de la période classique.
Voir par ex.
Rameau : Prélude du 1er recueil de précis pour clavecin. fig 1.15 fluctuations libres préalables à un tempo fixe.
Mozart : Capriccio KV 395 – fig 1.16. Style improvisé.
Beethoven : Adagio grazioso de la 16ème sonate pour piano (op31 n°1) fig 1.17 suspension du temps (point d'orgue) efflorescence à l'intérieur d'une échelle.
D'autre part, la période romantique a introduit l'idée du rubato, c'est-à-dire d'une modulation subjective de la pulsation (contraction-dilatation) et non d'une exploration véritable des nombres réels.
Quant à la possibilité du jeu parallèle de classes de résidus premières entre elles, on en trouve aussi des traces lointaines dans le « 3 contre 2 » (ex: 10ème pièce des Danses des Compagnons de David) (fig 1.14) R. Schumann p 25 partition.
Le véritable langage des durées se situe au niveau immédiatement supérieur de la concaténation de valeurs entières, c'est-à-dire l'un des matériaux compositionnels, par opposition à ce que j'ai appelé « l'espace musical » préalable (échelles pour les hauteurs, métrique pour les durées).
Les matériaux, fondés sur des proportions généralement arithmétiques, devaient dans la période classique répondre lors de leur actualisation à une dialectique tension-détente, schématisée par l'alternance de « rythmes masculins » (accent tonique sur le dernier temps fort ) et de « rythmes féminins » (accent tonique suivi d'une désinence sur le temps fort suivant).
Ils entraient dans la définition des éléments d'une morphologie et d'une syntaxe aux règles implicites, à laquelle se référait l'articulation dynamique, découpée en phrases, sections, etc...
Toutefois, il faut remarquer que l'existence de règles formelles élaborées, comme celles de l'imitation stricte (voir par exemple la 2ème Invention à 2 voix en ut mineur de J.S. Bach) et de la fugue introduisait déjà une notion abstraite d'interaction de structures, non pas seulement dans la succession, mais également dans la simultanéité (sujet-réponse) impliquant la possibilité d'une dissociation acoustique des composantes instantanées du message beaucoup plus fines que ne le permettrait l'analyse physique même poussée du phénomène sonore. D'une part, l'idée même de « voix », dont l'origine humaine est claire, supposait cette distinction fondée à l'origine sur la perception de sources simultanées caractérisées par des timbres, cette caractérisation s'étant progressivement réduite à la notion beaucoup plus floue et abstraite d'étagement de bandes de fréquences (tessitures) au sein d'une famille de timbres homogènes (clavecin).
D'autre part, cette simultanéité était la reconnaissance implicite de catégories de temps distinctes selon les sources sonores, un même « sujet » (au sens de la fugue) pouvant se trouver dans plusieurs voix à des stades différents d'évolution.
Il est juste de remarquer que cette caractéristique du langage contrapuntique, très élaborée dans le langage de J.S Bach, et spécifique à la musique occidentale, n'a pas continué à évoluer dans ce sens.
En revanche, le phénomène de la répétition est l'une des bases structurelles universelles de la musique, et mérite à ce titre quelques réflexions élémentaires.
La répétition, au sens musical le plus large, est la ré-émission d'un même phénomène sonore.
On distingue provisoirement plusieurs niveaux de répétition, liés à la complexité du phénomène répété, et aux circonstances de la répétition. Ce sont ces problèmes qui font l'objet du présent chapitre.
Niveau global :
répétition d'une « oeuvre » musicale : pose des problèmes de situation dans l'espace et le temps, de la mémorisation globale au niveau du récepteur, et donc de la signification même du fait musical : la partition comme message symbolique, le mythe de l'identité.
Niveaux structurels internes :
la section : illustrée par la reprise (menuet ou rondo de sonate sont les exemples les plus significatifs)
la phrase ou le membre de phrase : illustré dans un passé proche par une caractéristique du langage de Debussy, analysée par Nicolas Ruwet (Note sur les duplications dans l'oeuvre de Claude Debussy in [5.9].
le motif : illustré aujourd’hui par le groupe de répétitifs américains (voir le dossier dans la revue Musique en jeu N°26, en particulier l'article « Musique répétitive » d'IVANKA Stoianova (1.15).
Niveau élémentaire :
Répétition d'une « molécule » sonore (élément ayant une réalité physique, et donc pourvu de tous ses paramètres : note au sens élargi)
pose le problème de la périodicité, c'est-à-dire d'une métrique des durées avec pour corollaire toute la métrique de l'espace musical, dont l'axiomatique a été posée par Xenakis, s'inspirant de l'axiomatique des nombres de Peano [5.7].
Ces 3 niveaux posent des problèmes structurels de fond qu'on abordera plus loin.
On se bornera ici à quelques réflexions sur ces derniers niveaux. Observons d'abord que dans la mesure où l'art cherche à mettre à jour des relations entre catégories conceptuelles jusque là distinctes, la répétition est la première opération fonctionnelle, historiquement parlant.
Or tout formalisme est construit sur les mêmes concepts : définition de catégories d'objets liés par l'identité ou par des relations (opérateurs)
A noter que tous les formalismes mathématiques ont considéré le temps comme une catégorie à part (la variable « indépendante »). Il faut attendre les théories relativistes et les recherches physiques « unitaires » pour que « l'espace-temps » soit considéré comme un milieu homogène.
Un fait musical devant transmettre ses catégories en même temps que son « message », il est naturel que la répétition soit une opération de base.
Une répétition d'objets (sons) est la définition de fait d'un ensemble (fermé ou ouvert)
échelles
sous-ensembles
sous-groupes
Même la série, présentée comme une préoccupation de non-répétition, est basée sur la répétition de relations (abstraites). Elle peut être poussée sur une notion d'ordre à la fois sur les objets et leurs relations (cycles équilibrés, voir chapitre 2).
Il pourrait être intéressant, en analyse formalisée, de chercher une mesure des catégories, notions et opérateurs qu'une « œuvre musicale » utilise, indépendamment de la mise en œuvre des opérations elles-mêmes.
Elle peut être basée sur :
L'identité totale (vue de l'esprit : « toutes choses égales d'ailleurs » le récepteur humain aura varié)
L'identité de certains composants
l'analogie (impression globale que deux phénomènes sont proches. Ex : nuage de points de même répartition statistique à l'intérieur d'une même durée donnée.)
Après avoir insisté sur la répétition ou la répétitivité, l'invention a cherché à mettre en évidence son complément, l'irreproductibilité :
au niveau des sons (utilisations nouvelles des instruments traditionnels, stochastique et nuages de points, synthèse de sons nouveaux).
de l'espace des sons (l'approche du continu par les glissandi)
des structures
oeuvres ouvertes
cybernétique des formes
êtres musicaux
On peut ainsi schématiser les deux démarches :
Invariants 
diversité
On peut alors contester la nécessité d'une formalisation ; cependant l'expérience montre que la recherche volontaire de la diversité maxima a conduit à la perception de fait de catégories élémentaires d'invariants (ex impression d'équirépartition statistique des sons au sein de certaines œuvres de l'école sérielle).
Les notions de répétitivité, de répétitivité régulière (fréquence) sont des formalisations, des métriques centrées sur la mise en évidence de la variable temps à partir de la mesure (objectivation).
Boulez [5.5] distingue temps pulsé et temps amorphe, qu'on pourrait décrire en première approximation à partir de proportions d'entiers naturels ou de rationnels (réels...)
Cependant, cette distinction ne rend pas compte de la perturbation apportée dans le langage des durées par Stravinsky, dont Boulez a pourtant développé une analyse fouillée du Sacre du Printemps qui a fait date [5.6].
Or si les deux « prises de conscience » du temps pré-existaient dans la période classique, c'était plus sous la forme d'un temps mesuré et d'un temps non-mesuré, la seconde analyse se faisant à travers la prise de conscience d'un temps individuel (celui de l'interprète) jouant fonctionnellement en général sur la dilatation d'une périodicité, pouvant aller jusqu'à la suspension (point d'orgue).
Il s'agit donc d'une modulation de périodicité, dont le rubato est une variante limitée.
En revanche, même dans les langages d'origine folklorique introduisant des subdivisions premières avec le binaire (5,7,11, analysés en général par des additions de 2 et 3), la fonction du temps fort n'était que rarement contredite ; la classe de résidus privilégiée gardait sa fonction tout au long du déroulement.
C'est cette contradiction permanente qu'a instituée Stravinsky, sans pour autant échapper à la périodicité, c'est-à-dire à l'unité de mesure.
Une allusion aux périodes premières entre elles, sur laquelle nous reviendrons en détail, préparait la prise de conscience d'une nouvelle formalisation possible, introduisant dans les durées l'équivalent des opérations logiques sur les classes de résidus dont on a vu le développement à propos de la formalisation de l'espace des hauteurs.
Toutefois, la première étape nécessaire était la libération définitive des durées, et leur jeu simultané. C'est Olivier Messiaen qui le premier a développé un langage cohérent de « contrepoint de rythmes », sur lequel il s'est expliqué lui-même [5.2], à partir du jeu simultané de durées premières entre elles (voir par ex la pièce pour orgue Le Verbe, fragment cité par Messiaen lui même [5.2] fig 1.18).
Mais il a surtout donné une autonomie aux figures rythmiques, en leur faisant subir des augmentations ou diminutions régulières ou irrégulières (multiplication et division par 2, ajout et retrait d'une fraction de chaque valeur), et en les juxtaposant (voir par ex. Le 9ème mouvement de la Turangalila Symphonie, Turangalila III).
Boulez a raffiné les transformations possibles des cellules rythmiques (éventuellement [5.6] p. 160), par monnayage, négatif, engendrement d'un rythme à l'intérieur de lui-même, etc.
Une variante de cette approche, elle aussi latente dans le langage traditionnel à travers ce que les musiciens ont appelé de manière impropre les valeurs « irrationnelles » ( car elles relèvent en général de ce que les mathématiciens appellent nombre rationnels, extension des entiers naturels et relatifs) est la subdivision d'une même durée en fractions premières entre elles.
Le « 3 contre 2 » déjà mentionné, lorsqu'il s'applique à des valeurs courtes (triolet) en est l'exemple le plus familier.
On pourrait définir cette approche, par opposition à la précédente, comme subdivision « géométrique » du temps (selon la distinction de Xenakis), l'autre étant considérée comme « arithmétique ».
On la trouve développée par exemple dans la petite musique de nuit (1958) de Roman Haubenstock-Ramati, « mobile » pour orchestre( fig 1.19). Telle qu'elle est employée dans cet exemple, elle n'a d'ailleurs qu'une valeur indicative. Je l'ai moi-même utilisée dans un mouvement du Quatuor à Cordes Multiple comme moyen de répartition contrôlée des attaques entre les 4 instruments (fig 1.20 – voir aussi abaque fig 1.21).
Il faut remarquer toutefois que la réalisation pratique de cette subdivision par des instrumentistes reste à la limite de leurs possibilités, et n'est concrètement réalisable avec une certaine précision que dans des cas très particuliers. Par exemple, mon propos principal dans l'application précédente était un contrôle de succession d'attaques non-coïncidentes contribuant à la synthèse d'une proportion complexe unique. (à noter que j'ai réécrit depuis ce mouvement grâce au logiciel KANT avec l'aide de Gérard Assayag, chef de projet à l'IRCAM)
En revanche, rien ne s'oppose à une application rigoureuse de tels principes de subdivision « rationnelle » d'une même unité dans le cas de calculs et synthèse par ordinateur.
Les deux approches, arithmétique et géométrique, pourraient d'ailleurs être combinées, l'approche arithmétique se prêtant, comme on le verra plus tard, à des développements formalisés à l'échelle des « phrases » grâce à des opérateurs logiques, alors que l'approche géométrique est mieux adaptée à un contrôle fin, par exemple pour dessiner un seul événement complexe réparti entre plusieurs voix-instruments-sources.
Puisqu'on a écarté pour l'instant les proportions globales d'une oeuvre musicale, qu'on reverra par la suite, on se bornera à quelques exemples de subdivision à l'échelle de la section.
Le matériau de base (cellule rythmique) est lui aussi affaire de proportions. Dans le monde des durées traditionnelles à base binaire, l'application sur les entiers reste la règle, avec pour unité la plus petite durée binaire utilisée. La cellule rythmique peut alors être représentée par une séquence d'entiers :
4,5,3,1 signifiera
Si l'on prend la x pour unité.
(Il n'est pas inutile de rappeler que dans un tel formalisme, chaque entier n représente deux informations : la durée proprement dite de l'événement de n unités, et l'instant d'occurrence de cet événement, situé par rapport à une origine des temps qui coïncide avec le début de la cellule à un instant égal à la somme des entiers précédents.)
On imagine alors aisément les opérations élémentaires possibles comme l'augmentation déjà pratiquée par J.S. Bach (produit de chaque élément par un même entier), la diminution (division par un même entier, à la condition restrictive qu'il soit pour les n termes, un dénominateur commun).
Messiaen y a déjà ajouté une opération d'addition (ou de soustraction) qu'on peut généraliser en ajoutant à chaque entier un même entier :
exemple : +2 sur la cellule ci-dessus donne :
6,7,5,3 c'est-à-dire
Boulez, dans son article «Eventuellement» [5.6] fournit d'autres transformations cellulaires plus complexes, qu'on peut caractériser par l'application successive d'opérateurs élémentaires à une même cellule.
La caractérisation d'une cellule tient dans ses proportions. On pourra alors définir une famille de cellules ou profil par une inégalité.
Prenons l'exemple de 4 termes d'une cellule de durées :
Les deux exemples précédents sont des cas particuliers d'un même profil ainsi défini :
dont les solutions
sont en nombre fini, dénombrable ou infini selon que l'on fixe ou non des bornes
inférieure et supérieure absolues aux
, et
que
entiers naturels
ou 
nombres rationnels
ou 
nombres réels.
On utilise donc ici l'inégalité, ou relation d'ordre large. Pour restreindre les solutions, puisqu'il s'agit de lutter contre les grands nombres, on peut appliquer un tel profil à une grille de durées préétablies.
Une grille de durées, équivalente dans le temps à une échelle dans l'espace, est une succession de k durées répondant à une structure déterminée.
On imaginera donc aisément des grilles congruentes modulo-n ou des grilles non-congruentes, par analogie avec les échelles.
Pour prendre un exemple
concret utilisé dans mon quatuor à cordes Multiple , reportons-nous
à la fig 1.22 Elle fournit des solutions
d'application du profil 
et de son « renversement » (voir la généralisation des
opérateurs sériels, chapitre 2) dans une grille
G = <8, 6, 5, 1, 2, 4, 7, 3, 8> (unité = x )
(G est en fait un cycle équilibré de durées modulo-8, voir chapitre 2.)
La fig 1.23 donne toutes les solutions du renversement de profil ci-dessus à durée globale (somme des durées du profil) donnée.
Comme on l'a vu jusqu'à présent, les formalismes couramment disponibles ont l'inconvénient de découpler les paramètres du son, et de les considérer séparément.
Or, si l'on a pu formaliser les hauteurs et les durées, c'est que la notion de mesure précise y est disponible. Il n'en est pas de même par exemple pour les intensités.
En effet, bien qu'en théorie l'intensité d'un son soit fonction linéaire de l'amplitude de l'onde sonore, en pratique la mesure n'y est pas classique, et la seule notion familière aux musiciens traditionnels est celle qui caractérise les classes d'équivalence, c'est-à-dire le fait que tel son est plus intense ou moins intense que tel autre.
Une échelle de valeurs est bien présente, mais elle reste subjective et sujette à interprétations.
En outre la réalité musicale évoluant à plusieurs niveaux, il y a lieu de distinguer
- l'intensité individuelle des sons qui vont entrer dans un complexe à un instant déterminé
- l'intensité globale résultante pour ce complexe
- l'évolution dynamique de ces intensités.
Cette dernière particularité distingue historiquement, quant à un formalisme, les intensités des autres paramètres sonores. En effet, le contrôle du souffle (voix et instruments à vents) ou de la pression d'archet (cordes) permet les crescendos, c'est -à-dire la variation continue entre deux bornes.
Si donc le formalisme le plus naturel est la « relation d'ordre large » caractérisant un profil, on peut considérer qu'il s'applique même si l'intensité varié continuement d'une borne à la borne successive.
C'est ainsi qu'on pourra caractériser par exemple la dynamique d'une idée de cellule à partir d'une échelle arbitrairement quantifiée
|
ppp |
pp |
p |
mp |
mf |
f |
ff |
fff |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
sous une forme paramétrique.
Exemple tiré de « Transe Calme » pour piano (Riotte, 1973)
(Tête de voix principale)
Profil hauteurs :
Profil durées 
Dynamique : 
Articulation :
La flèche est un symbole de variation continue linéaire entre les événements : chaque actualisation de l'idée de cellule doit être initialisée (fixation de la valeur de i dans l'échelle choisie)
- soit en fonction d'une intensité moyenne globale dans le passage considéré
- soit en relation avec les intensités de la cellule qui précède, par exemple un principe de « concaténation avec recouvrement » ou CAR (que l'on retrouvera plus loin), l'intensité initiale de la cellule devant coïncider avec l'intensité finale de la cellule précédente.
Il est clair que dans un modèle polyphonique, les initialisations des événements superposés doivent être établies dans la même optique, c'est-à-dire en relation entre eux.
Enfin, l'étroitesse de l'échelle adoptée (8 à 10 termes) excluant le modulo, les phénomènes de limites sont à prendre couramment en compte, c'est-à-dire qu'en fonction d'une initialisation donnée, on doit prévoir par exemple les conditions de « saturation » :
Dans la cellule ci-dessus avec i = 7, on aura :
|
|
7 |
7 |
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|
c'est-à dire |
|
|
|
|
|
ff |
ff |
fff >mf |
Dans l'espace musical traditionnel des instruments, même avec les extensions que nous connaissons aujourd’hui, la notion de timbre est trop liée à la qualité même du son, c'est-à-dire à un complexe de caractéristiques physiques intimement liées, pour qu'un formalisme développé puisse la décrire autrement qu'en première approximation. La distinction la plus précise a trait à l'importance relative de l'attaque du son - ou transitoire - et du son entretenu imposant une fréquence prépondérante reconnaissable par l'oreille.
De l'orgue, instrument par excellence du son « éternel » - d'où sa fonction para-liturgique à une époque où la notion d'absolu était synonyme de fixité intemporelle, à la cymbale où l'éclat, le spectre complexe et l'évanescence traduisent le réel dans sa fugacité insaisissable, toutes les transitions sont en germe. Toutefois, de par la facture des instruments de l'orchestre, y compris les extensions récentes des percussions, les familles de timbres restent à la croisée des modèles formels construits sur des entités classifiables avec tous leurs paramètres et de la simulation sur ordinateur d'instruments dont la qualité du son n'est encore perçue sauf exception (voir les travaux de synthèse du son de Risset) que globalement, ce qui empêche de les subdiviser en classes bien ordonnées.
Dans ces conditions, seules les propriétés des ensembles peuvent y être couramment appliquées.
Organiser un langage, c'est alors définir le champ dans lequel on va se mouvoir, champ dans lequel la combinatoire permettra l'exploration de la totalité des possibles, et les sous-ensembles que l'on voudra considérer comme significatifs.
Pour fixer les idées sur un exemple simple, limitons-nous à l'espace de l'attaque des cordes, considérées comme une famille de timbres homogènes (voir fig 1.24)
On voit que
[ A(1), L(1), I(3), N(2), H(0), S(0) ]
caractérise deux notes poussées p sur la touche.
L'espace quantitatif dans lequel on se meut est donc à 6 dimensions dans le cas général ; encore faut-il y déceler les zones interdites, telles que A(2), L(1) ou N(4), H(2).
Certaines études [3.11] ont semblé confirmer les rapports étroits qui existent à l'audition entre timbre et attaque, et devraient permettre dans le futur un traitement moins subjectif de ces paramètres et de leurs corrélations.
Les développements précédents ont situé la possibilité de définir des « espaces virtuels » constitués par le produit des trames de hauteurs et de grilles de durées, formant un quadrillage potentiel à chaque nœud duquel pourront se situer les événements principaux, avec leurs caractéristiques d'intensité, de timbre et d'attaque, correspondant en fait à un espace à 5 dimensions. Toutefois, comme on l'a fait observer plus haut, les trois derniers paramètres ne peuvent relever que de relations d'équivalence ou de fonctions encore plus primitives.
On pourrait d'autre part critiquer une telle description à cause des quantifications qu'elle implique, de même que de la dissociation artificielle de caractères du son intimement liés.
En particulier, lorsqu'on veut travailler avec des sons complexes ou continûment variables, les recherches en synthèse du son par ordinateur laissent à penser que le continu devra être pris en compte.
Actuellement, lorsque la variation est linéaire et ne concerne qu'un des paramètres (traditionnellement l'intensité), une représentation bi-dimensionnelle reste possible (voir par exemple les nappes de glissandi de cordes de Xenakis).
On rappellera pour conclure provisoirement, comme cas particulier d'approche à l'interaction des paramètres, le « mode de valeurs et d'intensités » pour piano (1949) d'Olivier Messiaen.
Il définit, pour chacune des trois voix (fig 1.25) un mode de hauteurs à douze sons réparti sur plusieurs octaves, mais chaque hauteur est en fait un 4-uple (hauteur, durée, intensité, attaque).
Il s'agit donc d'un modèle intermédiaire entre la définition d'un espace virtuel tel qu'il est décrit dans ce chapitre et celle des mécanismes locaux comme on verra dans le suivant.
En fait les principales contraintes :
- chaque événement d'une voix doit être immédiatement suivi en séquence d'un autre événement du « mode » (sans silence) ;
- l'émission d'un son exclut pendant sa durée l'occurrence dans les deux autres voix d'un son de même nom ;
définisssent un triple automate, chaque nouvel événement d'une voix pouvant être choisi parmi 9 possibilités (12 moins l'événement précédent – non répétition – et les deux événements en cours dans les autres voix).
.
lui-même
